Lutte contre le dopage dans le cyclisme

Extrait du bac ST2S, métropole, 2014.

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au centième.

Lors d’une compétition, les \(198\) cyclistes participants ont été contrôlés. Parmi eux, \(21\) cyclistes ont eu un résultat « positif » au test anti-dopage. Néanmoins, \(3\) cyclistes parmi ces \(21\) testés « positifs » n’avaient pris aucun produit dopant et \(2\) cyclistes parmi les testés « négatifs » avaient pris des produits dopants.

1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous.

2. On choisit un cycliste au hasard parmi les \(198\) compétiteurs. On considère les événements suivants :
\(\text{D}\) : « le cycliste s’est dopé »
\(\text{N}\) : « le cycliste est testé négatif »
    a. Quelle est la probabilité qu’un cycliste soit testé « positif » ?
    b. Calculer \(P(\text{D})\), \(P_\text{D}(\text{N})\) et \(P_\overline{\text{D}}(\text{N})\).
    c. Exprimer par une phrase l’événement \(\text{D} \cap  \overline{\text{N}}\), puis calculer sa probabilité.
3. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

4. On appelle « efficacité du test » la probabilité \(P(\overline{\text{D}} \cap \text{N}) + P(\text{D} \cap \overline{\text{N}})\). Déterminer l’efficacité du test pratiqué lors de cette compétition.